Fit fürs Studium - Mathematik

Einleitung ... 21

Teil I Grundlagen ... 23

1. Mengenweise Mengen ... 24

1.1 ... Testen Sie sich selbst ... 25
1.2 ... Mengen und Elemente ... 25
1.3 ... Entspannungsübungen ... 30
1.4 ... Lösungen ... 30

2. Gesetze der Algebra ... 32

2.1 ... Testen Sie sich selbst ... 33
2.2 ... Gesetze, die jeder kennt ... 34
2.3 ... Brüche, gemischt und dezimal ... 40
2.4 ... Potenzen und Wurzeln ... 47
2.5 ... Entspannungsübungen ... 51
2.6 ... Lösungen ... 52

3. (Un-)gleichungen ... 54

3.1 ... Testen Sie sich selbst ... 55
3.2 ... Einfache Gleichungen und Ungleichungen ... 56
3.3 ... Quadratische Gleichungen und Bruchgleichungen ... 59
3.4 ... Gleichungssysteme ... 63
3.5 ... Sachaufgaben ... 67
3.6 ... Gleichungen lösen mit dem PC ... 69
3.7 ... Entspannungsübungen ... 73
3.8 ... Lösungen ... 74

4. Funktionen im kartesischen Koordinatensystem ... 82

4.1 ... Testen Sie sich selbst ... 83
4.2 ... Das Achsenkreuz ... 83
4.3 ... Lineare Funktionen ... 85
4.4 ... Parabeln ... 88
4.5 ... Wurzel- und andere Funktionen ... 93
4.6 ... Entspannungsübungen ... 97
4.7 ... Lösungen ... 98

5. e und log ... 104

5.1 ... Testen Sie sich selbst! ... 105
5.2 ... Mehr, mehr, mehr! ... 105
5.3 ... Logarithmen und ihre Regeln ... 111
5.4 ... Entspannungsübungen ... 115
5.5 ... Lösungen ... 116

6. Sinus und Cosinus ... 120

6.1 ... Testen Sie sich selbst ... 121
6.2 ... Rechtwinklige Dreiecke ... 122
6.3 ... Der Einheitskreis ... 124
6.4 ... Entspannungsübungen ... 133
6.5 ... Lösungen ... 134

7. Wo ist meine Einheit? ... 136

7.1 ... Testen Sie sich selbst ... 137
7.2 ... Hoch, weit, schwer ... 137
7.3 ... Von piko bis Tera ... 141
7.4 ... Wahnsinnig große (und kleine) Zahlen ... 143
7.5 ... Runden, aber sinnvoll ... 144
7.6 ... Entspannungsübungen ... 147
7.7 ... Lösungen ... 148

8. Flächen und Räume ... 150

8.1 ... Testen Sie sich selbst ... 151
8.2 ... Flächeninhalt und Umfang ... 151
8.3 ... Volumen und Oberfläche ... 155
8.4 ... Entspannungsübungen ... 159
8.5 ... Lösungen ... 160

9. Vielleicht sechs Richtige ... 164

9.1 ... Testen Sie sich selbst ... 165
9.2 ... Statistik ... 166
9.3 ... Wahrscheinlichkeit ... 174
9.4 ... Entspannungsübungen ... 181
9.5 ... Lösungen ... 181

10. Herrn Booles Algebra ... 184

10.1 ... Testen Sie sich selbst ... 185
10.2 ... Aussagenlogik ... 185
10.3 ... Wie Computer rechnen ... 188
10.4 ... Entspannungsübungen ... 192
10.5 ... Lösungen ... 192

11. Was zu beweisen ist ... 194

11.1 ... Mathematische Beweise ... 195
11.2 ... Vollständige Induktion ... 195
11.3 ... Indirekter Beweis ... 197
11.4 ... Entspannungsübung ... 201
11.5 ... Lösungen ... 201

Teil II Analysis ... 205

12. Folgen und Grenzwerte ... 206

12.1 ... Zahlenfolgen ... 207
12.2 ... Grenzwerte und Konvergenz ... 210
12.3 ... Entspannungsübungen ... 213
12.4 ... Lösungen ... 213

13. Reihen ... 216

13.1 ... Unendliche Summen ... 217
13.2 ... Besondere Reihen ... 219
13.3 ... Entspannungsübungen ... 223
13.4 ... Lösungen ... 223

14. Stetigkeit und Monotonie ... 224

14.1 ... Grenzwerte von Funktionen ... 225
14.2 ... Stetige Funktionen ... 232
14.3 ... Entspannungsübungen ... 236
14.4 ... Lösungen ... 236

15. Funktionen ableiten ... 240

15.1 ... Umschalten auf wahnsinnige Geschwindigkeit! ... 241
15.2 ... Die Steigung der Tangenten ... 244
15.3 ... Ableitungsregeln ... 248
15.4 ... Entspannungsübungen ... 255
15.5 ... Lösungen ... 255

16. Noch mehr Funktionen ableiten ... 256

16.1 ... Exponentialfunktion ableiten ... 257
16.2 ... Trigonometrische Funktionen ... 261
16.3 ... Entspannungsübungen ... 265
16.4 ... Lösungen ... 265

17. Eigenschaften von Funktionen ... 268

17.1 ... Funktionengeometrie ... 269
17.2 ... Königsdisziplin Kurvendiskussion ... 279
17.3 ... Funktionen à la carte ... 283
17.4 ... Entspannungsübungen ... 290
17.5 ... Lösungen ... 290

18. Integralrechnung ... 296

18.1 ... Das riemannsche Integral ... 297
18.2 ... Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ... 300
18.3 ... Anwendungen der Integration ... 313
18.4 ... Entspannungsübungen ... 318
18.5 ... Lösungen ... 319

19. Die Bewegungsgleichung ... 322

19.1 ... Kraft und Beschleunigung ... 323
19.2 ... Die zweite Dimension ... 327
19.3 ... Entspannungsübungen ... 332
19.4 ... Lösungen ... 332

20. Die Differentialgleichung erster Ordnung ... 334

20.1 ... Wo Differentialgleichungen vorkommen ... 335
20.2 ... Die Differentialgleichung erster Ordnung lösen ... 338
20.3 ... Entspannungsübungen ... 346
20.4 ... Lösungen ... 346

21. Das Pünktchen auf dem i ... 348

21.1 ... Die komplexen Zahlen ... 349
21.2 ... Die komplexe Zahlenebene ... 353
21.3 ... Die eulersche Formel ... 358
21.4 ... Funktionen und Folgen mit komplexen Zahlen ... 360
21.5 ... Entspannungsübungen ... 362
21.6 ... Lösungen ... 363

22. Hin und wieder zurück ... 364

22.1 ... Der harmonische Oszillator ... 365
22.2 ... Differentialgleichung zweiter Ordnung ... 368
22.3 ... Entspannungsübungen ... 376
22.4 ... Lösungen ... 376

23. Mantelflächen und Kurvenlängen integrieren ... 380

23.1 ... Kurvenlängen integrieren ... 381
23.2 ... Mantelflächenintegrale ... 384
23.3 ... Entspannungsübungen ... 387
23.4 ... Lösungen ... 387

24. Nicht-kartesische Koordinatensysteme ... 390

24.1 ... Polarkoordinaten ... 391
24.2 ... Dreidimensionale Koordinatensysteme ... 395
24.3 ... Entspannungsübungen ... 399
24.4 ... Lösungen ... 399

Teil III Lineare Algebra ... 403

25. Vektorrechnung ... 404

25.1 ... Vektoren in der euklidischen Ebene ... 405
25.2 ... Die Basis ... 410
25.3 ... Entspannungsübungen ... 414
25.4 ... Lösungen ... 414

26. Lineare Gleichungssysteme ... 418

26.1 ... Das Gauß-Verfahren ... 419
26.2 ... Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme ... 422
26.3 ... Entspannungsübungen ... 428
26.4 ... Lösungen ... 428

27. Willkommen in der Matrix ... 430

27.1 ... Lineare Abbildungen ... 431
27.2 ... Verknüpfung linearer Abbildungen ... 434
27.3 ... Entspannungsübungen ... 441
27.4 ... Lösungen ... 441

28. Eigenwerte, Determinanten und Co. ... 444

28.1 ... Matrizen unter der Lupe ... 445
28.2 ... Eigenwerte ... 448
28.3 ... Produkte ... 454
28.4 ... Entspannungsübungen ... 459
28.5 ... Lösungen ... 460

29. Besondere Matrizen anwenden ... 464

29.1 ... Geometrische Transformationen ... 465
29.2 ... Bildbearbeitung ... 470
29.3 ... Entspannungsübungen ... 473
29.4 ... Lösungen ... 473

30. Mehrdimensionale Analysis ... 476

30.1 ... Abbildungen in mehr als einer Dimension ... 477
30.2 ... Differentialrechnung in ?n ... 480
30.3 ... Entspannungsübungen ... 486
30.4 ... Lösungen ... 486

31. Numerische Verfahren ... 488

31.1 ... Intervallschachtelung ... 489
31.2 ... Interpolation ... 492
31.3 ... Ausgleichsrechnung ... 496
31.4 ... Numerische Integration ... 498
31.5 ... Entspannungsübungen ... 502
31.6 ... Lösungen ... 503

32. Analytische Geometrie ... 506

32.1 ... Ein Universum voller Vektoren ... 507
32.2 ... Begegnungen im Nichts ... 519
32.3 ... Entspannungsübungen ... 529
32.4 ... Lösungen ... 530

Formelsammlung ... 535
Literaturverzeichnis ... 538
Index ... 539