Grenzen der Mathematik

Ist die Mathematik frei von Widersprüchen? Gibt es Wahrheiten jenseits des Beweisbaren? Ist es möglich, unser mathematisches Wissen in eine einzige Zahl hineinzucodieren?

Die moderne mathematische Logik des zwanzigsten Jahrhunderts gibt verblüffende Antworten auf solche Fragen.

Das vorliegende Buch entführt Sie auf eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik, hin zu den Grenzen der Mathematik. Unter anderem werden die folgenden Themen behandelt: Geschichte der mathematischen Logik, formale Systeme, axiomatische Zahlentheorie und Mengenlehre, Beweistheorie, die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze, Berechenbarkeitstheorie, algorithmische Informationstheorie, Modelltheorie.

Das Buch enthält zahlreiche zweifarbige Abbildungen und mehr als 70 Aufgaben (mit Lösungen auf der Website zum Buch).

Für die dritte Auflage wurde das Kapitel ,Modelltheorie' um eine Beschreibung der von Paul Cohen entwickelten Forcing-Technik ergänzt.

Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann ist Dozent an der Fakultät für Informatik und Wirtschaftsinformatik der Hochschule Karlsruhe - Technik und Wirtschaft. Von ihm ist im gleichen Verlag das Werk Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze - Eine geführte Reise durch Kurt Gödels historischen Beweis erschienen.

Vorwort.-

1 Historische Notizen.- 1.1 Wahrheit und Beweisbarkeit.- 1.2 Der Weg zur modernen Mathematik.- 1.3 Übungsaufgaben.- 2 Formale Systeme.- 2.1 Definition und Eigenschaften.- 2.2 Entscheidungsverfahren.- 2.3 Aussagenlogik.- 2.4 Prädikatenlogik erster Stufe.- 2.5 Prädikatenlogik mit Gleichheit.- 2.6 Prädikatenlogik höherer Stufe.- 2.7 Übungsaufgaben.- 3 Fundamente der Mathematik.- 3.1 Peano-Arithmetik.- 3.2 Axiomatische Mengenlehre.- 3.3 Übungsaufgaben.- 4 Beweistheorie.- 4.1 Gödel'sche Unvollständigkeitssätze.- 4.2 Der erste Unvollständigkeitssatz.- 4.3 Der zweite Unvollständigkeitssatz.- 4.4 Gödels Sätze richtig verstehen.- 4.5 Der Satz von Goodstein.- 4.6 Übungsaufgaben.- 5 Berechenbarkeitstheorie.- 5.1 Berechnungsmodelle.- 5.2 Die Church'sche These.- 5.3 Grenzen der Berechenbarkeit.- 5.4 Folgen für die Mathematik.- 5.5 Übungsaufgaben.- 6 Algorithmische Informationstheorie.- 6.1 Algorithmische Komplexität.- 6.2 Die Chaitin'sche Konstante.- 6.3 Unvollständigkeit formaler Systeme.- 6.4 Übungsaufgaben.- 7 Modelltheorie.- 7.1 Meta-Resultate zur Prädikatenlogik.- 7.2 Nichtstandardmodelle von PA.- 7.3 Skolem-Paradoxon.- 7.4 Boole'sche Modelle.- 7.5 Übungsaufgaben.- Literaturverzeichnis.- Bildnachweis.- Namensverzeichnis.- Sachwortverzeichnis.